Applicative Intersection Types
Metadata
- Title: Applicative Intersection Types
- Venue: APLAS’22
- Area: Merge operator and disjointness
- Source URL: https://i.cs.hku.hk/~bruno/papers/aplas22applicative.pdf
- Downloaded PDF: Applicative-Intersection-Types.pdf
- Extracted assets:
_assets/Applicative-Intersection-Types/ - Pages: 20
- Embedded image count reported by PyMuPDF: 0
Why this note exists
This note is part of the HKU PL Group literature knowledge base for work on iso-recursive subtyping, intersection types, union types, disjointness, merge operators, and compositional programming. It is designed for later Coding Agent / Proof Agent use during proof search, design brainstorming, and comparison against prior systems.
Extraction quality note
This is the fast pass generated with pymupdf4llm, not the heavier marker-pdf pass. The original PDF is linked above and kept in _pdfs/. Figures/images detected by PyMuPDF are saved under _assets/. Some mathematical notation may still require checking against the PDF, especially inference rules with complex layouts.
Technical landmarks detected automatically
These are line references into the converted Markdown below. They are meant as a quick navigation layer for rules, lemmas, theorems, proofs, algorithms, examples, and counterexamples.
- line 1: ����������������������������
- line 11: � ������������
- line 21: � ����������
- line 41: � ��������
- line 49: ��� ����������
- line 55: ��� ������������������������������
- line 73: ����� �→ ��� �������� �→ ������
- line 77: ������������ → ������������ → �����������������������
- line 85: ���������������������� �→ ����������
- line 95: ������������������� �→ ������
- line 99: ��� �����������������������������������
- line 105: ���� → ������������� → ������������ → ������
- line 113: � ����������
- line 117: ���������� → ���� → ������������� → ������� ������ λ ������
- line 122:

- line 130:

- line 139: ��� ������������������
- line 191: � ��������������������
- line 195: ��� �����������������
- line 200:

- line 216:

- line 221: ��� ��������������������
- line 226:

- line 239: ��� ����������
- line 259: � ����������������������������������������
- line 265: �� ����������
- line 268:

- line 273: ��� ������
- line 281: ��� ������
- line 294:

- line 299: ��� ���������
- line 309: �� ����������
- line 317: ��� �������������
- line 321: �������������������������������������������������
- line 327: ���������������������������������������������
- line 354: � �����������������������������������
- line 358: ��� ������������
- line 363:

- line 372: �� ����������
- line 378: ��������������������������������������������� �� A ∗ B � A ≪ S = C1 ��� B ≪ S = C2 ����� C1 ∗ C2 �
- line 386: ��� ������������������
- line 391:

- line 400: ��� ���������������������������
- line 406: � �����������
- line 414: �� ����������
- line 420: � �����������������������
- line 424: ���������������
- line 428: ����������
Full converted paper text
����������������������������
�����[1] ��������������������[1] ���������������[2]
1 ��������������������������
2 ������������������������
��������� ���������������������������������������������������� ��������������������������������� ����������� � ����������������� ���� ������������� ����������������� ��� ��������������������� ������� �������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������
� ������������
����������� ����������������� ���������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ���������������������������������� ������������� ������������������� ���������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ����������������������������������� ������������������� ������ ���������� ����������� ����� ����������������� ��������� ����������������� �������
������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������
--- end of page.page_number=1 ---
� ����������
������������������������������������������������������������������ ������������ ������������ ��� ���������������� ����������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ���������������������� �������������������� ���������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ������������ ������ �� ���������� ��������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� � ��������� �������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������
�����������������������������������������
-
������������������������������������������������������������ ��������� ������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� ������������������������������
-
������������������������������������ ������������������������ �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ �����������������������������������������������������
-
�������������������������������� ������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������
-
������������������������������������������ ���������������� ����������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������
������������������������������������������������������
� ��������
��������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ���������������������������������
--- end of page.page_number=2 ---
���������������������������� �
��� ����������
��������������������������������� ���������������������������� ����������������������������������������������������� A � B ����������� ����������������������� A ������� B��������������������������� , ,�������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������� �������� ������������ ������ � ��� � ���������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ������������� ��� ��� ���� ������������������������������������������� �� � ��� � ������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ������� ���������� �������� ��������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������������
������������������������� ������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������� ����������������������� ��� ��� ���� ��������������������� �������� �� �������������� ������� ����������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������� ���������
��� ������������������������������
��������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������� ��������������������������� �������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ������������������������������ ��������������������� �������� ��� ��������������������� ����������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ������������������������������� �→ �����������������
--- end of page.page_number=3 ---
- ����������
���������������������������� �→ �������
������������������� ��������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������� �������������������������������������� ���� �������������������������� ����������������������������������������������������������������������� ������������� ����� ⇒ � → ������ �� ���� ��������������������
��������������������������������������������������������������� ������������������������������� ���� ������������������������ ���� �������� ������������ ���� → ������������� → ������� �
��������� → ������������� → �������������������������
�������������� ���� ������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������������
����� �→ ��� �������� �→ ������
��������������������� ��������������������������������������� ����� ����������� ⇒ ������ → � ����������������������������������� ����������� ���� �������������������������������������������� ���� � ����������������������������� ���� ����������������������
������������ → ������������ → �����������������������
������������������������������ � �������������������������������� ���� ��������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� ������������������������� ���� ����������������������������������� ��� �����������������������������������������������
������������� �→ � ��������������� �→ �����
����������������� ��������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������� ������������������������������������ {l : A} � {l : B} <: {l : A � B}��������� ������������������������������������
���������������������� �→ ����������
�������������� ����� ���������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������ ������������������������ ���������������������������������� ���������������������������������������������������������������� �� ������������������ ��������������������������������������������� ��������������������
--- end of page.page_number=4 ---
���������������������������� �
����������������������������������������������������������������� ������������� (A → B) � (A → C) <: A → (B � C)����������������������� ���������������������������������
������������������� �→ ������
������������������������������������ � ������������� ���������� ����� ������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������
��� �����������������������������������
��������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������
������������������������������������� ��������������������������� ������������ e1 e2 ������������� e.l� e1 ������������������������������ e �������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ���������� ������� ������������� ���� ��������������������������
���� → ������������� → ������������ → ������
����������������������������������������������������������� ����������������������������������� ��������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ������ ��� → ������ ����������������� ���� → ������ ������������������ ���������� ������ ��������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������� ��� → ������ �������������������� ��������� → �������� ������������������������ ��������������������������������� ���� ������������������������������ �������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������� ��������������������������� λi+ ����������������������������������������� ������������������������������������������������� ���������������� ����������� ���������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ����������
--- end of page.page_number=5 ---
� ����������
���������������� ������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������
���������� → ���� → ������������� → ������� ������ λ ������
���������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ �������������������������

��������������������������������������������������������� ����� ����� ���������������� ���� → ��� → ������ ��� ���� → ���� → ������ ������� ��������������������������������������������������� ����� �������������� ����� → ��� → ������������� → ���� → ������� ����������������������� �������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������
�������������������������� ����������������������������������� ��������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������

��������������� ���� ��������������������������������� ����������� �� ������ ������������������������������������������ ������� ��������� ����������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ������������������������������� � ��� � ������������ � ������������ �� �������� ���������������� ���� → ���������� → ����� �
--- end of page.page_number=6 ---
���������������������������� �
��� ������������������
�������������������� �������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ������������������������������������� �������������������� ���������� ������������������������������������������� A ���������������������� ��������������������������������������� B��������������������������� ���������������������������������������������������������������� ����������������������� A���������� l��������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ����������������������� <:��������������������� � ���������������� ���� ��� �
���� → ������������� → ������������ → �
����������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������� � �� ������������ ������ ��� ��� �������������� ��� → ������ ����������������� ��������������� ���������� ������������������������������������������� ���������������������� �
�������������������������
������������������������������������������������������������������ ����������������������������������� S �������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������� ⊚ ����� ������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������� . ���������������������� ��������������������������������������� ≪ �������������������������
���� → ������������� → ������� ≪ ��� ������� ⊚ � ������� → ������������ → ����� ≪ ���������� ⊚ ���� ���������� ����������� ≪ � ������� ⊚ � ���������� �������� ≪ � ������� ⊚ ���
������������������������������������������������������������������� ���������������� ≪ �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������� ⊚��������������� ���������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������
������������������ �� A ≪ B = C ����� A <: B → C �
��������������������� �� A <: B → C ����� ∃ D, A ≪ B = D ∧ D <: C �
--- end of page.page_number=7 ---
- ����������
| . | ⊚. | =. | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| A1 | ⊚. | =A1 | ||||
| . | ⊚. | =. | . | ⊚A2 | =A2 | |
| A1 | ⊚. | =A1 | Amb | ⊚O | =Amb | |
| . | ⊚A2 | =A2 | O | ⊚Amb | =Amb | |
| A1 | ⊚A2 | =A1 | �A2 | A1 | ⊚A2 | =Amb |
������������������������������ ������������������������
����������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� Amb ����������������������������������������������������������������� O ���������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������� ����������������� ⊚ ���������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ ��������� ⊚������������������������������������������������������������ ��������������������� (A → B) � (A → C) <: A → (B � C)���������������� ������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� � �������������������������� ������������������������������������������ ��������� ��� ⊚ ���� ������������� �������� ������������������������� ������������������ ������� → ������������ → ����� ≪ ������ ��������� ���������������������� �������� ������������������������������������ ������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ��������� ��� ⊚ ���� ������������������������������������������� ������������������������������������������������ ����������������� ���� ��������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������� ������������������������������������������� ���� → ������������ → ��������� → ������������ �������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ��������� ��� ������
������������������ ����������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� ���������������������� ������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������
--- end of page.page_number=8 ---
���������������������������� �
������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ��������������
���������� ����������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ���� �������������� ��� → ������ ����������������� ���� → ������ ����������� ���������������
� ��������������������
��������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������
��� �����������������
������������������������������������

A ��� B ������������������������������������ Int ��� Top ������������ ��� Top ������������������������������������������������������ A → B� ����������������� A � B��������������� {l : A}�������������������������� �������������������������������������������������������������������������� ������������������������������
����������������������� ����������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������� ������� ��������� ������������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������� B ������������ B1 ��� B2 ��������������������������� A ���������������� B1 ��� B2�
--- end of page.page_number=9 ---
�� ����������
A� � A � A� ����������������� ������ ������ ������ B� � B � B� A� � A � A� A � A � B � B A → B� � A → B � A → B� { � : A�} � { � : A} � { � : A�} A <: B ����������� ������� ������� ������� ������� C <: A B <: D[o] A <: B[o] ��� <: ��� A <: ��� A → B <: C → D[o] { � : A} <: { � : B[o] } ������� ��������� ��������� B� � B � B� A <: B� A <: B� A <: C[o] B <: C[o] A <: B A � B <: C[o] A � B <: C[o]
��������������������������������������������

��������������������������
��� ��������������������
��������������������������������������� ��������� ��������������������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������� �������������������������������������� A1 ����������� B�������������� ������������� A2 �������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ���� A������������������������������������������������� A1 � A2 ������ ����������������������������� ⊚ ���������������������������������� ������������ A1 ��� A2 ������������������� B�����������������������
--- end of page.page_number=10 ---
���������������������������� ��
������������������� Int ≪ S��������������������������������������������� ����������������������������������
�������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �������
��� ����������
���������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ������������������������������������
���������������������������� �� A ≪ B = C ����� A <: B → C �
������������������������������� �� A <: B → C ����� ∃ D, A ≪ B = D ∧ D <: C �
���������������������������������������������������������������������� ������������ A ��������������� B ������������� C ����������������� �������� A <: B → C���������������������������������� A ���������� ��������������� B → C ��������������������������������������������� �������������� D ����������������� C�
�������������������������������������������������������������� ���������������������������������������
�������������������������� �� A ≪ l = B ����� A <: {l : B} �
����������������������������� �� A <: {l : B} ����� ∃ C, A ≪ l = C ∧ C <: B �
������ ��������������������������������������������������������������� ���������������������������� ������ ��� �������������������������� ��������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������
��������������������� �� A <: B → C ����� ( ∃ D, A ≪ B = D ∧ D <: C) ∨ A ≪ B = Amb �
� ����������������������������������������
���������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������
--- end of page.page_number=11 ---
�� ����������

������������������������������������������������������� ⇔ ::= ⇐ | ⇒ �
��� ������
��������������������������
����������� e ::= x | i | e : A | e1 e2 | λx .e : A → B | e1, , e2 | {l = e} | e.l ��������� p ::= i | λx .e : A → B ������ v ::= p : A[o] | v1, , v2 | {l = v} �������� Γ ::= · | Γ, x : A
�������������������������������������������� λx. e : A → B ������������� ���������������������������������������������������������������� e1, , e2 ����������������������������� e1 ��� e2�������������� {l = e} ������� ��������������������������� l ������� e������������������������������� �������� e.l������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������
��� ������
������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������� ����� ��� �� ��������������������������������������������������������
�������������������������������� ��������������������������������� ������������������������������������������������������������������� �������������������������A ��� B ������ ��������������������������� ������ C ���������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������
--- end of page.page_number=12 ---
���������������������������� ��
��������������������������������������������������������������������� ������������� �������������������������������������� �������� ��������������������������� ����� ����������������� ������ Γ = f : I → I → I, g : I → B → B��I ��� B �������� Int ��� Bool�

�������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������� (f, , g) 2 true���������������� ��������� (f, , g) 2 ��� true���������� (f, , g) 2 �� (Int → Int) � (Bool → Bool)��������������������������������������������������������������� ���������������� f, , g ��������� 2������������������������������ (f, , g) 2 ������������������� Bool�
��� ���������
��������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� ������� ��������������������������������������������� v �−→ A v [′] ������������������ v ������������� v [′] ������ A���������������������� ����������������������� A������������������������������������������ ����������������������������������� �������� ��� �������� ����� ���������������������������������������������������������� ���� ���� �������� ������� ������ ��� → ������ �
���������������������� ����������������������������������������� ���������������������������������������������� ������������������� ������ ������������������������������������������������������������������� �������� (v • vl) �→ e ������������������ v ����������������������� vl ����� vl ::= v | l���������������������� e����� ������� ������������� ������������������������������������ D ��������������������������� ���������������� �������� ����������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ⟨ vl ⟩ ���������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ����� ��������� ��� ������������������������������������������ ����������������������������������������������� ��������� ��������� �������������������������������������������������������������
�������������������� �������������������������������������������� ����� ������������ ��� ������������ ������������������������������� �������������������������������������������������������� ������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������������ �������� ��� �������� ����������������������� ���������������� ������������ ���������������� v �������� v [′] ������ A�
--- end of page.page_number=13 ---
�� ����������
v �−→ A v [′] ��������� ������ ������ ������ v �−→ Ao v [′] � : A �−→ ��� � : ��� v �−→ ��� ⊤ : ��� { � = v} �−→ { � :Ao} { � = v [′] } ������ �������� E <: C → D[o] v� �−→ Ao v� [′] (λ � . e : A → B) : E �−→ (C → Do) (λ � . e : A → D[o] ) : (C → D[o] ) v� , , v� �−→ Ao v� [′] �������� ������ v� �−→ Ao v� [′] A� � A � A� v �−→ A� v� v �−→ A� v� v� , , v� �−→ Ao v� [′] v �−→ A v� , , v� (v • vl) �→ e ������������������������ ������� �������� v �−→ A v [′] ((λ � . e : A → B) : C → D • v) �→ e[ � �→ v [′] ] : D ({ � = v} • � ) �→ v ��������� ��������� ⟨ v2 ⟩≪⟨ vl ⟩ = . (v� • vl) �→ e ⟨ v1 ⟩≪⟨ vl ⟩ = . (v� • vl) �→ e ((v� , , v�) • vl) �→ e ((v� , , v�) • vl) �→ e ��������� ⟨ v1 ⟩≪⟨ vl ⟩̸ = . ⟨ v2 ⟩≪⟨ vl ⟩̸ = . (v� • vl) �→ e� (v� • vl) �→ e� ((v� , , v�) • vl) �→ e� , , e�
��������������������������������������
���� �������� ������������������������������������� e ������������ ����� p�������������������������������������������
��� �������������
�������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������
�������������������������������������������������
� �� · ⊢ v1 v2 ⇒ A ��� v1 • v2 �→ e ����� · ⊢ e ⇐ A �
� �� · ⊢ v.l ⇒ A ��� v • l �→ e ����� · ⊢ e ⇐ A �
���������������������������������������������
� �� · ⊢ v1 v2 ⇒ A ����� ∃ e, v1 • v2 �→ e
� �� · ⊢ v.l ⇒ A ����� ∃ e, v • l �→ e �
����������������������������������������������������������������
����������������������� �� · ⊢ e ⇔ A ��� e �−→ e [′] ����� · ⊢ e [′] ⇐ A �
������������������� �� · ⊢ e ⇔ A ����� e ���������� ∃ e [′] , e �−→ e [′] �
--- end of page.page_number=14 ---
���������������������������� ��
| ������������ | �������������������� →_B �������� (v�•v�) �→_e v�v�_−→_e �������� ¬e_∈_p e −→_e′ e:A −→_e′ :A ���������� e�_−→_e_′ � e�, , e�_−→_e′ �, , e� ���������� e −→_e′ e.�−→_e′_.� | �������������������� →_B �������� (v�•v�) �→_e v�v�_−→_e �������� ¬e_∈_p e −→_e′ e:A −→_e′ :A ���������� e�_−→_e_′ � e�, , e�_−→_e′ �, , e� ���������� e −→_e′ e.�−→_e′_.� | ������������� �������� (v�_•_v�) _�→_e |
|---|---|---|---|
| e | |||
| e�, , e�_−→_e_′ �, , e� ���������� e −→_e′ e.�−→_e′_.� |
���������������������
��������������������������
� �����������������������������������
�������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ��������������������������
��� ������������
�������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������� �������� ������������������� ������������������������������������������������������������������ �������������� Top� Top � Top�������������

��������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������
������������������������� A ∗ B ≜ ∀ C �� A <: C∧B <: C ����� C �����������
--- end of page.page_number=15 ---
�� ����������
�������������������������������������������������������������� Int → Int �� Int → Bool ������������������������������������������������������ ��������� Int → Top ��������������������������������������������������� ���� Int → Int ��� Int → Bool ���������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ��������������� ���� �� ���� → ������������� → ������� ������������ ��������������������������������������� ��� → ������ ����������������� ���� → ������ ����������������������������������������� ���� ���� → ������ ����������������������������������������������������� ���������� ���� �������������� �������������������� ���������������� �������������������� ��� �� ������ ���������������������������������� ������������������������� ��������� ������������������� ��� → ��� ���������� ���� ���� → ���� �
������������������������������������������������������������������ �������������������� ����� ���� A <: ⌉ B ⌈ ����� ⌉ B ⌈ ��������� B ����������� ����������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������
��������������������������������������������� �� A ∗ B � A ≪ S = C1 ��� B ≪ S = C2 ����� C1 ∗ C2 �
����������������������������������������������� ����������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������
�������������������������������������������� �� A <: B → C � ���� ( ∃ D, A ≪ B = D ∧ D <: C) ∨ Top <: C �
������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ��������������������� ������ → ��� ��������� �������� ��������������� �������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������������������������
��� ������������������
������������������������������������������������������ ������

������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������� �����������������������������������������������
--- end of page.page_number=16 ---
���������������������������� ��
��� ���������������������������
��������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������
���������������������� �� · ⊢ e ⇔ A � e �−→ e1 ��� e �−→ e2 ����� e1 = e2 �
� �����������
�������������������������������������� ��������������������� �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������� ���� ��������� ������������� F∧ ��������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������� �������������������������������������� ���������������� ���������������� �������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������
������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ����������������������������� ���������� ��������������������������� ���������������� → ������ ��������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������� λ[+] i[�������������] ������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������� λ[+] i[�������] ����������������������������������������������������������� ��� ��������� ���������������������������������������������������������������� λ[+] i[����������������������������������������������������������������] ������������������������ λ[+] i[�������������������������������������������] ������������������������� λ[+] i[���][λ][+] i[�������������������������������] ���������������������� ���������������� → ����� ��������������������� ����������������������� λ[+] i[�������������������������] [������������][������] ������������������ λ[+] i[�]
--- end of page.page_number=17 ---
�� ����������
�������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������ ������������ ��� ������������������ � ������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������� �������� �������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������
����������������� ���������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ���������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������� �������� ������ ������������������������������������������������������������������� ���� �� �������� → ������ � � ���������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������
� �����������������������
��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������������ �������������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������
���������������
������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������������������� �����������������������������
����������
- ���������������������������������������������������������
���������������� �������������������������������������������������������������
--- end of page.page_number=18 ---
���������������������������� ��
-
������������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������
-
���������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������� �� ����������� ������
-
������������������������������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������������
-
���������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������� �� ������� ���������
-
������������������������������������������������������������������������ �������������������������������� ��� �����������������
-
�������������������������������������������������������������������������� �������������������������������� �� �����������������
-
����������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ �������������������������
-
������������������������������������������������������������������������� �������� �� �������������������
-
��������������������������������������������������������������������� ������ �� ��������������
-
��������������������������������������������������������������������� �������������������������������������
-
���������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������
-
������������������������������������������������������������������ ����������������������������������������������������������������������� ������������ �� ��������������
-
����������������������������������������������������������������������� ����������������� �� ������
-
������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������
-
������������������������������������������������������������������������������ ��������������������������������������������������������� � �������� ���������
-
������������������������������������������������������������������������������ ������������������������������������������������������������������ ����������������
-
���������������������������������������������������������������������� ��������������������������
-
��������������������������������������������������������� ���������� ������������������������������������������������������������������� ������
-
�������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������ �����������������������������������
-
������������������������������������������������������������������������
--- end of page.page_number=19 ---
-
�� ����������
-
������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������� ��������������
-
��������������������������������������������������������������������� �����������������������������������
-
����������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������� ��������������������
-
���������������������������������������������������������������������� ������������������������������������������������������������� ����������������������������
-
������������������������������������������������������������������������ ����������
-
������������������������������������������������������������������������ ����������������������� �� ��������������
-
��������������������������������������������������������������������� �������������������������������������
-
��������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������� �� ��������������
--- end of page.page_number=20 ---